MATEMATIKA

6

PELUANG

                        A. Kaidah Pencacahan 

    Dalam Kehidupan sehari-hari, kita sering dihadpkan dengan satu masalah yang mengharuskan kita menentukan banyak cara yang mungkin terjadi dari suatu peristiwa. untuk menyelesaikan masalah tersebut, dapat digunakan kaidah pencacahan yang menggunakan salah satu atau gabungan dari metode berikut :

           1. Aturan pengisian tempat yang tersedia
           2. Permutasi
           3. Kombinasi

     "Jika ada m cara suatu kejadian dan ada n cara kejadian yang lain. makan seluruh kejadian adalan m x n " 

   1. Aturan pengisian tempat yang tersedia
            Ada 3 kota yaitu P , Q dan R . P dan Q dihubungkan dengan 4 jalan, sedangkan Q dan  R
     dihubungkan dengan 5 jalan. carilah :
   a) Banyak jalan dari P ke R melalui Q
   b) Banyak jalan dari P ke R melalui Q dan kembali lagi ke P dengan jalan yang sudah dilalu saat pegi tidak boleh dilalu kembali !
 a )

4

5

 4 X 5 = 20 Cara

b) Pergi : 

4

5

4x5 = 20 cara

    Pulang :

    P→Q 4 jalan sudah dilewati 1 sisa 3 jalan 

    Q→R 5 jalan sudah dilewati 1 sisa 4 jalan 

4

3

4x3 = 12 cara

Banyak cara Pulang Pergi :

20

12

 20 x 12 = 240 cara

2. Definisi Faktorial dan Notasinya

   Definisi "hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi motasi n! ( faktorial dilambangkan dengan tanda ! )"

1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
2. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12
       7!       7×6×5×4×3×2×1
3.  —— = ———————— = 7 × 6 × 5 = 210
       4!            4×3×2×1 

3. Permutasi

       Permutasi adalah susunan yang mungkin dari sejumlah unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya.

    1. Permutasi dengan Unsur yang Berbeda

       Banyaknya permutasi dari n unsur yang tersediadiambil r unsur dirumuskansebagai berikut.

Dengan :
n = banyak unsur yang tersedia 
r = banyak unsur yg diambil

Contoh : Tersedia 8 buah buku mata pelajaran yang berbeda, diambil 5 buku dan akan disusun diatas rak buku.

     2. Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama
   Banyaknya permutasi n unsur yang memuat a,b,dan c unsur yang sama dirumuskan sebagai berikut Dengan

P = banyak permutasi
n = banyak unsur seuruhnya

K₁!K₂!...K! = unsur yang sama

 contoh :

terdapat 2 bola merah, 1 bola biru dan 3 bola putih yang sama jenis dan ukurannya. Ada berapa carakah bola – bola itu dapat disusun berdampingan?

Pembahasan :

Banyaknya susunan bola – bola itu adalah

   3. Permutasi Siklis (Melingkar)

Permutasi siklis adalah banyaknya susunan melingkar dari n unsur yang berbeda. Permutasi siklis dirumuskan sebagai berikut

Dengan
P = banyaknya permutasi siklis
                                               N = banyaknya unsur

Contoh : 
ada 4 orang duduk pada kursi yang melingkar, berapa susunan yang dapat dibentuk :
n = 4 = (n-1)!
             (4-1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 susunan 

4. Kombinasi

    Kombinasi adalah suatu pilihan dari unsur unsur yang ada tanpa mempertahankan urutannya. banyak kombinasi K unsur dan n unsur dinyatakan dengan :

 Contoh :
Huruf A, I, U , E dan O akan disusun menjadi kelompok yang terdiri dari 3 huruf. Berapakah banyaknya kelompok yang mungkin terbentuk?

5C3=5!3!(5−3)!=5!2!=10

B . Kejadian dan Peluang Suatu Peluang Kejadian

1 . Pengertian Percobaan, Ruang Sample, dan Kejadian. 

Definisi "Himpunana dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sample atau ruang contoh dan dilambangkan dengan huruf  S "

Definisi " Anggota -anggota dari ruang sampel atau contoh tersebut disebut dengan titik sample atau titik contntoh "

Definisi " Himpunan bagian dari ruang sample disebut kejadian "

Suatu kejadian dapat dibedakan menjadi 2 macam, yaitu : 

A. Kejadian Sederhana, yaitu suatu kejadian yang hanya memiliki satu titik sample. 

B. Kejadian Majemuk, yaitu suatu kejadian yang memiliki lebih dari satu titik sample. 

2. Peluang suatu Kejadian 

A. Peluang Kejadian 

     Misalnya S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan setiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama dan K adalah suatu kejadian dengan K⊂S, maka peluang kejadian K adalah :

 n(k): Banyak anggota di kejadian K .
 n(s) : Banyak anggota dalam himpunan ruang sample.


Contoh :
 Sebuah dadu dilempar undi satu kali, peluang muncul angka bilangan prima adalah...

Jawab:

Ruang sampel dadu (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  maka n(S) = 6

Muncul angka prima (K) = {2, 3, 5} maka n(K) = 3

Sehingga peluang muncul angka bilangan prima yaitu:

B. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
     Definisi " Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang kejadian yang akan terjadi dalam suatu percobaan." Dengan rumus :

n : Banyaknya Percobaan
P(k) : Peluang Kejadian K

Contoh :

Sebuah dadu dilempar sebanyak 120 kali, maka frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 adalah...

Jawab:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ↔ n(S) = 6

K : Faktor dari 6 = {1, 2, 3, 6} ↔ n(A) = 4

n = Banyak lemparan = 120

 Sehingga frekuensi harapan muncul faktor dari 6 adalah :

C. Kejadian Majemuk 

1. Peluang Komplemen Suatu Kejadian 
      Pada diagram Venn , kejadian E didefinisikan di dalam ruang sample S sehingga kejadian diluar E disebut komplemen dari kejadian dan diberi notasi E^{C.
Jumlah peluang suatu kejadian E  dan keajadian komplemennya} E^C sama dengan 1. karena P(E)+P(E^{C) =1, Maka} 
P(E^C)= 1- P(E)

2. Peluang Dua Kejadian Saling Lepas 
     Definisi " Dua kejadian saling lepas adalah dua kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan. "
P (A ∪ B) = P(A) + P (B) 

Pada pelemparan sebuah dadu bermata 6, berapakah peluang mendapatkan dadu mata 1 atau 3 ?

Jawab:

A = {1}, B = {3}

n(A) = 1, n(B) = 1

Peluang mendapatkan dadu mata 1 atau 3:

9

Definisi " Dua kejadian saling lepas adalah dua kejadian yang dapat terjadi secara bersamaan. "
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Dari 45 siswa pada suatu kelas, diketahui 28 siswa suka Matematika, 22 siswa suka bahasa Inggris, dan 10 siswa suka kedua-duanya. Jika seorang siswa dipilih secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih adalah yang menyukai Matematika atau bahasa Inggris! ( gambarnta di atas ) 

n(S) = 45

Suka Matematika, n(M) = 28

Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22

Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10

Jawab :

n(S) = 45

Suka Matematika, n(M) = 28

Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22

Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10

Peluang terpilih yang suka Matematika atau Bahasa Inggris ialah:

P (M ∪ B) = P (M) + P (B) – P (M ∩ B)

3. Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas

Definis " Dua Kejadian disebut saling bebas jika peluang munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian ke dua." 

P (A ∩ B) = P (A) X P (B)

Definis " Dua Kejadian disebut saling bebas jika peluang munculnya kejadian pertama mempengaruhi peluang munculnya kejadian ke dua." 

P (A ∩ B) = P (A) X P (B')

4. Peluang Kejadian Bersyarat 

Definisi " Dua Kejadian disebut kejadian bersyarat jika munculnya kejadian pertama mepengaruhi peluang munculnya kejadian ke dua "
P (A ∩ B) = P (A) X P (B｜A)


Manfaat peluang dalam kehidupan sehari hari : 
1. Membantu dalam mengambil keputusan yang tepat .
2. Untuk memperkirakan hal yang akan terjadi.
3. Untuk meminimalisir kerugian 

~ selesai ~